Является ли число 0 натуральным числом

Является ли число 0 натуральным числом

В школах РФ действуют учебники по ма­тематике (5 кл.), где число нуль не считает­ся натуральным числом, а последствия такого утверждения устраняются дополнительными по­яснениями: при отсутствии какогонибудь раз­ряда в записи многозначного числа пишется число нуль. Или же в литературе для старших клас­сов говорится: ряд натуральных чисел расширя­ется присоединением к нему числа нуль. В даль­нейшем число нуль считается целым, рациональ­ным, действительным, комплексным числом.

Другими словами, возникает вопрос: поче­му число нуль, относясь к целым числам, не яв­ляется натуральным. По какой причине? Почему число 1 натуральное, а число 0 не натуральное?

Вникнем в сущность понятия «натураль­ное число». Число 1 свидетельствует о наличии одного элемента в множестве независимо от его реального содержания (человек, птица, яблоко и т.д.). Число 0 свидетельствует об отсутствии какогонибудь элемента в том или ином множестве. И число 1, и число 0 характеризуют то, что имеется 1 элемент или же отсутствует такой элемент в рассматриваемом множестве. В этом смысле эти числа являются «продуктами» одно­го и того же рода мышления, одного вида рассу­ждений.

Слово «натура» [4. С. 397] поясняется, как: «1) то же, что и природа; 2) то, что существует в действительности, настоящее». Следовательно, и число 1, и число 0 характеризуют данное мно­жество наличием или отсутствием в нём элемен­тов. В этом смысле они являются натуральными числами, они свидетельствуют о том, какое коли­чество вещей имеется (или не имеется).

В словаре [2. С. 256] разъясняется поня­тие «конечное множество» — пустое множе­ство, а также всякое множество, равномощное с множеством всяких целых положительных чи­сел, не превосходящих какогонибудь целого по­ложительного числа».

В математической энциклопедии [3. Т. 2, С. 723] поясняется понятие «кардинальное чис­ло» — трансфинитное число, мощность множе­ства по Г. Кантору, кардинал множества А, такое свойство этого множества, которое присуще лю­бому множеству В, равномощному множеству А. Там же, на странице 837 слово мощность по­ясняется как кардинальное число, а слова «на­туральное число» поясняется как кардиналь­ное число [3. Т. 3, С. 892], исключая при этом пустое множество. Здесь мы видим, что имеет­ся некоторое противоречие: мощность множе­ства — кардинальное число, или же кардиналь­ное число — мощность множества, мощность конечного множества — это натуральное число, а пустое множество относится к конечным. Та­кое противоречие устраняется в логическом сло­варе [2. С.375]: «Индуктивно натуральное число определяется следующим образом:

1. 0 является натуральным числом.

2. Если п — натуральное число, то и n´ -натуральное число(n=n+1).

Читайте также:  В чем измеряется крутизна фронта

3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет.

4. Для любого натурального числа n существует п´≠0».

Г.В. Дорофеев пишет [1. С. 6769]: «. в рамках теоретикомножественного подхода ут­верждение, что «0 не является натуральным чис­лом», неверно, а «расширение» множества нату­ральных чисел с помощью нуля некорректно». Свое мнение по этому вопросу он завершает фразой: «Трактовка нуля как натуральное число одновременно и удобна для математики, и есте­ственно «склеивает» два основных подхода к по­нятию натурального числа. Кроме того, учащим­ся согласиться с этим пониманием числа 0 зна­чительно проще, чем многим учителям, уже при­выкшим к такому толкованию этого понятия».

Х.Ш. Шихалиев (автор данной ста­тьи), занимающийся вопросом совершенство­вания содержания и методов обучения матема­тике в общеобразовательной школе (511 клас­сы), начиная с 70х годов прошлого века, и раз­работавший всю линию обучения математике на теоретикомножественной основе, утвержда­ет не только целесообразность реализации двух подходов к изучения числа в школе, но и необходимость сближения учения о числе в школе к его научной трактовке.

С точки зрения диалектики возникнове­ния и развития понятий «количественная и по­рядковая теории числа не являются различны­ми, независимыми друг от друга аспектами, а представляют две стороны единого эволюцион­ного процесса развития этого понятия. Каждая из этих теорий разъясняет и дополняет содержа­ние понятия, раскрывая его суть шире, полнее и яснее. Натуральное число появляется как мощ­ность конечного множества, а множество нату­ральных чисел в целом характеризуется и кри­сталлизуется как единое целое с помощью тео­рии порядкового числа. Когда теория порядко­вого числа не в состоянии развить учение о чис­ле дальше, мы общаемся к теории кардинально­го числа для сравнения различных бесконечных множеств по их мощностям» [6. С. 5354].

Это единство обеих теорий обосновыва­ется в книге И. К. Андронова и А. К. Окунева «Арифметика рациональных чисел». О един­стве теорий кардинального и порядкового числа можно найти и у Д. Гильберта. Общность обе­их теорий заключается в том, что, с одной сто­роны, ни одна теория в отдельности не в состо­янии раскрыть и развить понятие натурально­го числа полностью и в совершенстве. С другой стороны, их чередование в обосновании и раз­витии этого понятия полностью раскрывает ин­вариантность одной теории с инвариантностью другой, то есть понятие мощности становится результатом счёта и наоборот. По утверждению Фройденталя Г., различие заключается лишь в историческом плане, то есть в том, что «коли­чественное число — совершенно примитивное понятие, которое в развитии человечества было вскоре заменено более тонким»[5. С. 116].

Читайте также:  Восстановить данные с андроида через компьютер

Таким образом, понятия «натуральное число» и «множество натуральных чисел» ста­новятся понятными и логически завершенны­ми только в совместном рассмотрении карди­нального и порядкового подходов к ним, а не в раздельном их изучении. Первая теория поясня­ет содержательную сторону понятия числа, опе­рируя конкретными множествами, вторая теория усовершенствует математическую сторону поня­тия, отвлекаясь от его содержательной стороны, возвышая это понятие на новую ступень абстрак­ции. Затем снова возвращается к теории карди­нального числа, разъясняя содержательную сто­рону трансфинитных чисел. В таком подходе к этому понятию чётко видно философское разъ­яснение природы развития понятий. Такая пози­ция придерживается многими учеными и педаго­гами, в частности А.П. Менчинской.

Разработанные учебноэксперименталь­ные материалы [7, 8, 9, 10] и прошедшие апро­бацию неоднократно в VXI классах не продви­гаются за пределами региона, ссылаясь на то, что МОиН РФ запретило заниматься по учебным по­собиям, не имеющим их гриф. Нашим пособи­ям ранее такой гриф не давали по причине, что их содержание выходит за пределы имеющихся стандартов. Теперь «Новое поколение стандартов образования» стало ближе к нашим позициям. Можно надеяться на то, что наши пособия станут доступными для массового учителя математики. Более того, вопрос о числе нуль возник изза того, что учащийся, считавший запись: 0eN- истин­ным высказыванием, получил низкий балл, а дру­гой учащийся, считавший эту запись ложным вы­сказыванием, получил на балл выше. Выходит, что быть ближе к науке иногда вредно.

1. Дорофеев Г.В. Математика для каждо­го. М.: АЯКС, 1999. — 390 с.

2. Кондаков Н.И. Логический словарь. Справочник. М.: Наука, 1976. — 717 с.

3. Математическая энциклопедия. М.: Сов.энциклопедия, 1979.

4. Ожегов СИ., Шведова Н.Ю. Толко­вый словарь русского языка. М.: РАН, 2009. — 940 с.

5. Фройденталь Г. Математика как педа­гогическая наука. 4.1.- М.: Просвещ., 1982, 208 с.

6. Шихалиев Х.Ш. Об альтернативном подходе к разработке школьных курсов матема­тики. Махачакала: ДГПУ, 2010. — 196 с.

7. Шихалиев Х.Ш. Математика 56. Учебное пособие. -Махачкала: ДГПУ, 1997. — 246 с.

8. Шихалиев Х.Ш., Алиев Р.Г. Математи­ка 1011. Пробное учебное пособие. — Махач­кала: Лотос, 2007. — 160 с.

9. Шихалиев Х.Ш. Алгебра 79. Учебное пособие. — Махачкала: Лотос, 2007. — 256 с.

10. Шихалиев Х.Ш. Геометрия на плоскости 59. Учебное пособие. Махачкала: ДГПУ,1997. — 344 с.

Существует ли консенсус в математическом сообществе или некоторых принятых полномочиях для определения того, следует ли классифицировать нуль как натуральное число?

Читайте также:  Планшет yoga book android

Кажется, что раньше в $ 0 $ рассматривалось множество натуральных чисел, но теперь, как представляется, чаще встречаются определения, говорящие, что натуральные числа являются точными целыми числами.

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  1. натуральные числа — числа, возникающие при подсчете (нумерации) предметов ( первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
  2. натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3предмета, 4 предмета, 5 предметов ).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .

Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Ссылка на основную публикацию
Электромеханическая швейная машина что это такое
Несмотря на широчайший выбор одежды в магазинах, многие женщины приобретают швейные машины для дома. Для одних это хорошая возможность сделать...
Что можно сделать из старого радиотелефона
Есть старый радиотелефон Panasonic KX-T4200BH Можно ли из него сделать что нибудь? Например радиоприемник или рацию? Или можно смело раскурочивать...
Что написано на java
Java совсем не молодой язык, но при этом он остается лидером среди языков программирования. Что делает его настолько популярным? Мы...
Электронная нагрузка 150 вт из китая обзор
2018-01-26 Китайская электронная нагрузка на 150Вт (постоянный ток, до 10А) Для работы с разными аккумуляторами (их разряда) обзавелся электронной нагрузкой...
Adblock detector